SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING

1.  Mengenal Sudut Pusat dan Sudut Keliling Jika Menghadap Besar yang Sama

Perhatikan gambar 7.11 berikut!

Pada gambar 7.11 disamping, titik O adalah pusat lingkaran,                                                                        

rusuk AC dan BC adalah tali busur yang keduanya bertemu di titik C.   Telah kalian pahami bahwa : AOB merupakan sudut pusat,  selanjutnya harus kalian pahami bahwa : <ACB adalah sudut keliling (berdiri sendiri).                     

Pada gambar 7.11 di samping <AOB dan <ACB keduanya menghadap busur yang  sama  yaitu busur pendek AB.

Gambar 7.11

Dengan memperhatikan dan mencermati gambar 7.11,

kita akan memperoleh suatu kesimpulan bahwa:                                             

Besar <AOB = 2 kali <ACB

Perhatikan ∆ BOC!

   A.     <OCB = <OBC, karena ∆BOC sama kaki, kedua sisi ∆BOC, yaitu OB dan OC bernilai sama dengan jari-jari lingkaran tersebut. 

Akibatnya<BOC = 180⁰  - 2<OCB

    B. Perhatikan sudut lurus DOC! 

       <DOC                  =  <DOB + <BOC

180⁰               = <DOB + 180⁰ – 2<OCB

<DOB            = 2 <OCB

                C.      Perhatikan ∆ AOC!
                          <OCA = <AOC
                          <AOC =180⁰ - 2 <OCA
                          Dengan cara seperti tadi diperoleh
                         <DOA = 2 <OCA           
               D. Perhatikan sudut pusat AOB dan sudut keliling ACB! 

<AOB           = <DOB + <DOA

                        = 2 <OCB + 2 <OCA

                        = 2 (<OCB + <OCA)

       

<AOB     = 2 x <ACB  atau,  <ACB        = <AOB

 

Dari uraian diatas dapat ditarik kesimpulan:

 

Sudut pusat suatu lingkaran besarnya sama dengan “dua kali” sudut keliling, jika keduanya menghadap busur yang sama.

Atau,

Sudut keliling sebuah lingkaran besarnya sama dengan “setengah kali”sudut [usatnya,jika kedua sudut itu menghadap pada busur lingkaran yang sama.

 
 Contoh
Perhatikan gambar  7.12
 

Jika besar sudut PQR = 35⁰, tentukan  <PSR.
Jawab:
<PQR adalah sudut keliling = 35⁰ 
<PSR adalah sudut pusat    
<PQR dan <PSR menghadap busur pendek PR
<PSR = 2 x <PQR = 2 x 35⁰ 
<PSR = 70⁰. 



Pada gambar  7.13

O adalah pusat lingkaran,
<ADO =  40⁰dan <CDO = 50⁰.
Hitunglah besar  <AOB dan <COB
Hitunglah besar  <AOC yang menghadapi busur ABC (busur panjang)
    Apakah <AOC = 2 x <ADC
Jawab:
<AOB    = 2 x <ADB = 2 x 40⁰ =  80⁰ 
<COB    = 2 x <CDB = 2 x 50⁰ = 100⁰ 
<AOC    = <AOB + ,COB = 80 + 100 = 180⁰ 
<ADC    = <ADO + <ODC = <40  + 50 = 90
Jadi <AOB = 2 x <ADC
180 = 2 x  90

2.  Menentukan Besar Sudut-Sudut Keliling Jika Menghadap Diameter dan Busur yang Sama.
A. Sudut-sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran.
Perhatikan gambar 7.14 berikut!

PQ adalah garis tengah (diameter)
Lingkaran yang berpusat di O.
    Tentukan besar <PRQ!   
    Tentukan besar <PSQ!
Jawab:

a.      Sudut diameter/sudut lurus = <POQ = 180⁰

<PRQ = ½  x <POQ =   ½  x 180⁰ = 90⁰

b.      Sudut PSQ =  ½  x <POQ =  ½  x 180⁰  =90⁰

 

Setiap sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran, besarnya sama dengan sudut siku-siku (setengah sudut lurus )

Perhatikan gambar 7.15 berikut ini!  

 

 Pada gambar 7.15,  

<AOB adalah sudut pusat yang menghadap

A

Busur AB. <ACB,  <ADB,  <AEB adalah sudut-sudut keliling yang

Gambar 7.15

Menghadap busur AB.

Jika <AOB = 2a⁰, maka :

            <ACB = <ADB = <AEB =  ½  <AOB =  ½  a⁰

            <ACB = <ADE = <AEB = a⁰

Atau

Sudut-sudut keliling suatu lingkaran yang menghadap pada busur yang sama adalah besar.